jueves, 19 de mayo de 2011

Radicales

Un radical es una expresión de la forma radical, en la que n Pertenece Conjunto de los números naturales y a Pertenece Erre ; con tal que cuando a sea negativo, n ha de ser impar.
radical 



radicales

Potencias y radicales

Se puede expresar un radical en forma de potencia:
Expresión de un  radical en forma de potencia
Expresión de un  radical en forma de potencia

Simplificar radicales

Si existe un número natural que divida al índice y al exponente (o los exponentes) del radicando, se obtiene un radical simplificado.
Simplificar radicales

EXTRACCIÓN DE FACTORES DE UN RADICAL

Si el radicando contiene uno o más factores que sean potencias de exponente igual al índice del radical, estos factores pueden extraerse del radical, escribiendo delante del radical (como factores) las bases de dichas potencias.

En efecto, se tiene:

Ejemplos:

SUMA Y RESTA DE RADICALES
Radicales semejantes: son los que tienen el mismo índice y la misma cantidad subradical. Ejemplos:



Cómo sumar y restar radicales semejantes
1)    Se halla la suma algebraica de los coeficientes y se escribe este resultado seguido de la parte radical común. Ejemplo:
2)    Si es necesario, primero se extraen factores del radical, para que los radicales queden semejantes. Ejemplo:
Sea la suma de radicales:

      Descomponemos en factores primos los radicandos:


      Extraemos factores:
      Efectuamos:
   
  Reducimos términos semejantes:
       



REDUCCIÓN DE RADICALES AL MÍNIMO COMÚN ÍNDICE

Reducir dos o más radicales al mínimo común índice es hallar otros radicales respectivamente equivalentes a los dados que tengan como índice, el mínimo común múltiplo de los índices dados.
Ejemplo:

Sea reducir al mínimo común índice


Hallamos el MCM de los índices 2, 3 y 4 que es 12; este será el mínimo común índice. Pero así como vamos a variar los índices, también debemos variar los radicandos para que se mantengan las expresiones equivalentes a las dadas. Para ello:

Dividimos el mínimo común índice (12) por cada índice.

Elevamos cada radicando al exponente igual al cociente obtenido en cada división.


Como 12 ÷ 2 = 6 es


 Como 12 ÷ 2 = 6 es

Como 12 ÷ 4 = 3 es


MULTIPLICACIÓN DE RADICALES
 Igual índice

1º Caso:
                        Para multiplicar radicales es necesario que ellas tengan el mismo índice. Si los radicales tienen igual índice, se efectúa la operación multiplicando los coeficientes entre sí y los radicandos entre sí; finalmente se simplifica el radical resultante.




2º  Caso:
                               El producto de un radical por una suma algebraica de otros radicales se realiza aplicando la propiedad distributiva.



3º Caso:
                        El producto de una suma algebraica de radicales por otra suma algebraica se realiza como si fuera un producto de polinomios.





Si los radicales tienen distintos índices
Se los debe reducir al mínimo común índice y luego se procede como con los radicales de igual índice.
 Ejemplo:


DIVISIÓN DE RADICALES

Como en la multiplicación, para dividir radicales es necesario que tengan el mismo índice.
Índices iguales: se dividen los coeficientes entre sí y los radicales entre sí, y finalmente se simplifica si es posible.


Índices distintos: se reducen primero los radicales al mínimo común índice y luego se procede como con los radicales de igual índice.
Ejemplo:
Encontramos el cociente de:

Reducimos al mínimo común índice (12)


 
POTENCIACIÓN DE RADICALES  

Para elevar un radical a un exponente, se elevan a dicho exponente tanto el coeficiente como la cantidad subradical y se simplifica si es posible.

Si es una suma algebraica de dos radicales la que debe elevarse al cuadrado, se aplica la regla del cuadrado de un binomio.


RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES (MONOMIO)
Cuando una fracción tiene en su denominador una expresión radical, siempre se trata de hacerla desaparecer usando un procedimiento matemático llamado racionalización.
Por tanto, racionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo denominador es irracional en otra fracción equivalente cuyo denominador sea racional.
En general, la racionalización consiste en multiplicar numerador y denominador por un factor racionalizante, que es un factor que al multiplicar por el denominador da la raíz exacta.


EXPONENTE FRACCIONARIO

Para extraer la raíz de una potencia, cuyo exponente es múltiplo del índice, se divide el exponente del radicando por el índice de la raíz.
Ejemplos:
Sin embargo al extraer la raíz de una potencia cuyo exponente del radicando no es múltiplo del índice de la raíz, resulta una potencia con exponente fraccionario.
Ejemplos:

Si la expresión radical está en el denominador, como en:
Reemplazando ene l numerador el 1 por su igual a0 (todo número o letra elevado a la cero es igual a 1):
Para dividir potencias de igual base restamos los exponentes:
 
El exponente fraccionario negativo proviene de un exponente fraccionario positivo que se ha pasado del denominador al numerador de una fracción de numerador 1.

CONVERSIÓN DE RADICAL AL EXPONENTE Y VICEVERSA

1.    1. Expresa con signo radical:

1.    2. Expresa con exponente fraccionario:
Bibliografía:
Baldor, Aurelio. Algebra. Novena Edición. México. 1992
Centurión Acha, Nélida; Melgarejo de Acosta, María Elena. Matemática 9. 3º Ciclo EEB. Editorial Fundación en Alianza. Asunción-Paraguay. Segunda Edición, 2004. 
Centurión Acha, Nélida; Melgarejo de Acosta, María Elena. Matemática 1º Curso. Exponente1. Editorial Fundación en Alianza. Asunción-Paraguay. Tercera Edición, 2006.
González J. D., Mancil. Álgebra Elemental Moderna Volumen 2. Editorial Kapelusz, Moreno 372. Bs. As.

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